Это - политика. Только церковные каноны тут не работают. Вообще, строго говоря, назначает и отстраняет регентов в храме настоятель храма. Вообще, строго говоря, для любого храма все назначения и снятия в нем осуществляются настоятелем.
Но...
Бывают и часто встречаются исключения.
Высшая церковная власть в церкви - это архиерей. Если регент близок к архиерею, или нравится архиерею, или он ставленник архиерея, без согласия архиерея такого регента снять будет нельзя.
А еще регент может быть родственником спонсора храма. И тогда тоже можно не сомневаться, что регента будут держать. Ну да, политика.
Так что, в целом снимает и назначает настоятель, но всегда помните, что есть подковерные интриги и течения. И не лезьте на рожон.